So sánh phân số

Kiến thức nền tảng

Một phân số biểu thị một số phần bằng nhau của một toàn thể. Với $\frac{3}{4}$, toàn thể được chia thành 4 phần bằng nhau, lấy 3 phần.

Khi dùng mô hình diện tích để so sánh, hai toàn thể phải có cùng kích thước. Ba phần tư của một băng giấy nhỏ có thể ngắn hơn hai phần ba của một băng giấy lớn; đó không phải là cách so sánh hai số phân số trên cùng một đơn vị.

• Cùng mẫu số: phân số có tử số lớn hơn thì lớn hơn, vì các phần có cùng kích thước.
• Phân số bằng nhau: nhân cả tử và mẫu với cùng một số tự nhiên khác 0 thì giá trị phân số không đổi.
• Quy đồng mẫu số: viết các phân số đã cho thành các phân số bằng chúng và có cùng mẫu số.

Khám phá qua một ví dụ

Hãy so sánh $\frac{3}{4}$ và $\frac{2}{3}$. Nếu chỉ nhìn các tử số 3 và 2, ta chưa có đủ cơ sở để kết luận: một phần tư và một phần ba có kích thước khác nhau.

Hãy tưởng tượng hai băng giấy bằng nhau. Băng thứ nhất chia thành 4 phần bằng nhau, tô 3 phần. Băng thứ hai chia thành 3 phần bằng nhau, tô 2 phần.

Quan sát cho thấy phần tô màu của băng thứ nhất dài hơn. Ta sẽ dùng quy đồng để giải thích kết quả này một cách chính xác.

Quy đồng và giải thích

Chọn mẫu số chung là 12 vì 12 chia hết cho cả 4 và 3. Chia mỗi phần tư thành 3 phần nhỏ bằng nhau; chia mỗi phần ba thành 4 phần nhỏ bằng nhau:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$ $$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$

Hai phân số đã có cùng mẫu số. Chín phần mười hai lớn hơn tám phần mười hai vì $9 > 8$:

$$\frac{9}{12} > \frac{8}{12} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\frac{3}{4} > \frac{2}{3}}$$

Bản chất của quy đồng: thay đổi cách chia nhỏ toàn thể, giữ nguyên lượng đã lấy. Quy đồng làm cho các phần nhỏ có cùng kích thước để ta có thể so sánh số phần.

Góc nhìn sư phạm

Đây là một gợi ý tổ chức hoạt động, cần điều chỉnh theo kiến thức nền và điều kiện lớp học.

1. Dự đoán: cho học sinh chọn phân số lớn hơn và nói rõ lí do. Chưa vội đánh giá đúng hay sai.
2. Thao tác: phát hai băng giấy bằng nhau. Học sinh chia, tô màu rồi đặt cạnh nhau để kiểm chứng dự đoán.
3. Tìm đơn vị chung: hỏi “Có thể chia tiếp để hai băng có các phần nhỏ bằng nhau không?”. Hướng dẫn chia thành 12 phần nếu học sinh cần hỗ trợ.
4. Kết nối với kí hiệu: ghi phép quy đồng bên cạnh mô hình; yêu cầu học sinh chỉ ra ý nghĩa của từng tử số và mẫu số.
5. Khái quát: để học sinh phát biểu cách so sánh sau quy đồng bằng lời của mình.

Với học sinh cần hỗ trợ, chuẩn bị băng giấy có vạch chia. Với học sinh đã hiểu, hỏi thêm: “Mẫu số chung 24 có dùng được không? Vì sao kết quả so sánh vẫn giữ nguyên?”.

Một sai lầm thường gặp

“Mẫu số lớn hơn thì phân số lớn hơn.”

Nhận định này không đúng. Chẳng hạn, cùng lấy một phần của hai băng giấy bằng nhau thì $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$. Chia cùng một toàn thể thành nhiều phần bằng nhau hơn thì mỗi phần nhỏ hơn.

Tránh chỉ thay sai lầm bằng một mẹo nhớ khác. Hãy yêu cầu học sinh dùng băng giấy hoặc hình vẽ để giải thích; sau đó đối chiếu với quy tắc so sánh đã học.

Bài tập vận dụng

Hãy tự giải trước khi mở đáp án. Với mỗi bài, trình bày cách quy đồng hoặc vẽ mô hình trên cùng một toàn thể.

Bài 1 · Cùng mẫu số

So sánh $\frac{5}{8}$ và $\frac{3}{8}$.

Xem đáp án bài 1

Hai phân số có cùng mẫu số 8. Vì $5 > 3$ nên $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$.

Bài 2 · Khác mẫu số

So sánh $\frac{5}{6}$ và $\frac{3}{4}$.

Xem đáp án bài 2

Quy đồng mẫu số 12: $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ và $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Vì $10 > 9$ nên $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$.

Bài 3 · Bằng nhau hay khác nhau?

Bạn An nói $\frac{2}{3} < \frac{4}{6}$ vì $2 < 4$. Em có đồng ý không? Giải thích.

Xem đáp án bài 3

Không đồng ý. Nhân cả tử và mẫu của $\frac{2}{3}$ với 2 được $\frac{4}{6}$, nên $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Không thể chỉ so sánh tử số khi mẫu số khác nhau.

Tự kiểm tra hiểu biết

• Em có giải thích được vì sao hai băng giấy cần bằng nhau không?
• Sau khi quy đồng, lượng được biểu thị có thay đổi không?
• Em sẽ đặt câu hỏi nào để giúp một học sinh đang so sánh riêng tử số hoặc mẫu số?

Bài học này là học liệu minh họa của MathEdu; không thay thế tài liệu chương trình chính thức hoặc sách giáo khoa được lựa chọn tại nhà trường.