Tính chất của phép chia có dư

Giới thiệu

Ở tiểu học, phép chia có dư thường được giải thích bằng việc chia đều hoặc lập các nhóm đủ số lượng. Với sinh viên sư phạm, cần hiểu vì sao một cặp thương và số dư luôn tồn tại, vì sao điều kiện về số dư bảo đảm tính duy nhất, và giới hạn nào phải giữ khi chuyển sang tình huống lớp học.

Bài này xét số bị chia là số nguyên, số chia là số nguyên dương. Phần liên hệ tiểu học chỉ dùng các số tự nhiên. Không đưa số nguyên âm vào yêu cầu của học sinh tiểu học.

Định nghĩa

Định nghĩa

Thương và số dư

Cho $a\in\mathbb Z$, $b\in\mathbb Z$, $b>0$. Cặp số nguyên $(q,r)$ là thương và số dư khi chia $a$ cho $b$ nếu:

$$a=bq+r,\qquad 0\le r<b$$

Công thức dài · vuốt ngang hoặc dùng phím ← → khi chọn vùng công thức.

Lưu ý

Điều kiện $r<b$ nghĩa là phần còn lại không đủ lập thêm một nhóm có $b$ phần tử. Đẳng thức đơn lẻ chưa đủ để xác định phép chia có dư.

Tính chất

Định lý · Tính chất

Định lý chia có dư

Điều kiện

Số bị chia $a$ là số nguyên; số chia $b$ là số nguyên dương.

Tồn tại duy nhất cặp số nguyên $(q,r)$ thỏa $a=bq+r$ và $0\le r<b$.

Chứng minh / giải thích

Tồn tại. Xét tập $S=\{a-bk\mid k\in\mathbb Z,\ a-bk\ge0\}$. Tập không rỗng: chọn $k$ âm với độ lớn đủ lớn để $a-bk\ge0$. Theo nguyên lý thứ tự tốt, tập có phần tử nhỏ nhất $r=a-bq$.

Nếu $r\ge b$ thì $r-b=a-b(q+1)$ cũng không âm và thuộc tập nhưng nhỏ hơn $r$, mâu thuẫn. Vậy $0\le r<b$ và $a=bq+r$.

Duy nhất. Giả sử có hai cặp hợp lệ. Khi đó:

$$a=bq+r=bq'+r'\quad\Longrightarrow\quad b(q-q')=r'-r.$$

Công thức dài · vuốt ngang hoặc dùng phím ← → khi chọn vùng công thức.

Vì $0\le r,r'<b$, ta có $|r'-r|<b$. Bội nguyên duy nhất của $b$ trong khoảng đó là 0. Suy ra $q=q'$ rồi $r=r'$.

Bản chất toán học

Các bội liên tiếp của $b$ tạo các khoảng độ dài $b$. Số $a$ nằm trong đúng một khoảng từ $bq$ đến trước $b(q+1)$; số dư là khoảng cách $a-bq$. Khi thêm một bội nguyên của $b$ vào $a$, số dư giữ nguyên, còn thương thay đổi tương ứng.

Phép chia hết là trường hợp $r=0$. Nếu bỏ điều kiện không âm hoặc điều kiện nhỏ hơn số chia, cặp thương–dư không còn được xác định duy nhất. Không thể thay số chia bằng 0 vì bất đẳng thức $0\le r<0$ không có nghiệm.

Hai phép chia hợp lệ trong phạm vi số nguyên

Số bị chia a	Số chia b	Thương q	Số dư r	Kiểm tra
53	7	7	4	$53=7\times7+4$
−17	5	−4	3	$-17=5\times(-4)+3$

Ví dụ và lời giải

Ví dụ có hướng dẫn

Tìm thương và số dư của 53 chia 7

Đề bài

Xác định thương và số dư khi chia 53 cho 7.

Phân tích

Cần tìm bội của 7 ngay trước hoặc bằng 53, rồi kiểm tra phần dư.

Hướng giải

Tìm hai bội liên tiếp bao quanh 53.

1. Tìm hai bội liên tiếp

   Bội thứ nhất không vượt 53, bội tiếp theo vượt 53.

   $$7\times7=49\le53<56=7\times8$$

   Công thức dài · vuốt ngang hoặc dùng phím ← → khi chọn vùng công thức.

2. Tính phần còn lại

   Lấy 53 trừ 49.

   $$r=53-49=4$$

   Công thức dài · vuốt ngang hoặc dùng phím ← → khi chọn vùng công thức.

3. Kiểm tra đủ hai điều kiện

   Đối chiếu đẳng thức và khoảng của số dư.

   $$53=7\times7+4,\qquad 0\le4<7$$

   Công thức dài · vuốt ngang hoặc dùng phím ← → khi chọn vùng công thức.

Kết luận

Thương $q=7$, số dư $r=4$.

Với $a=-17$ và $b=5$, ta viết $-17=5\times(-4)+3$. Cặp $q=-4$, $r=3$ hợp lệ. Đẳng thức $-17=5\times(-3)-2$ đúng nhưng số dư âm, không đáp ứng định nghĩa.

Nhận diện sai lầm

Đẳng thức đúng chưa đủ

Cách nghĩ cần xem lại

Cho $50:7$ “thương 6, dư 8” vì $50=7\times6+8$.

Vì sao chưa đúng?

Số dư $8\ge7$, còn lập được một nhóm 7 nên cặp này chưa hợp lệ.

Cách hiểu đúng

Viết $50=7\times7+1$, khi đó $0\le1<7$.

Gợi ý sửa sai

Kiểm tra đồng thời đẳng thức, số dư không âm và số dư nhỏ hơn số chia.

Liên hệ với Toán tiểu học

Cho học sinh chia 17 que tính vào các nhóm, mỗi nhóm 5 que. Lập được 3 nhóm đầy đủ và còn 2 que. Hỏi “Có thể lập thêm một nhóm đủ 5 que không?” để hình thành điều kiện số dư nhỏ hơn số chia. Bài chia có dư xuất hiện trong nội dung lớp 3 ở tài liệu chương trình đã đối chiếu, trang 30.

Sinh viên cần phân biệt lập luận nền tảng dành cho người dạy với trải nghiệm phù hợp học sinh. Không yêu cầu học sinh lớp 3 dùng nguyên lý thứ tự tốt. Khi đặt bài toán thực tế, cần xác định câu hỏi: 17 người đi xe mỗi xe 5 chỗ cần 4 xe, dù thương nguyên của 17 chia 5 là 3. Quyết định thực tế phụ thuộc ý nghĩa phần dư.

Tự đánh giá

• Trong chứng minh tồn tại, chỗ nào dùng nguyên lý thứ tự tốt?
• Nếu chỉ kiểm tra đẳng thức mà quên số dư, lời giải có thể sai thế nào?
• Vì sao số xe cần dùng có thể khác thương nguyên trong phép chia?

Ghi nhớ sau bài học

Ghi nhớ và kết nối

Những điểm cần giữ lại

• Với $a\in\mathbb Z$ và $b>0$, thương và số dư tồn tại duy nhất.

• Thêm $kb$ vào số bị chia ($k$ nguyên) giữ nguyên số dư, đổi thương thành $q+k$.

$$a=bq+r,\qquad 0\le r<b$$

Công thức dài · vuốt ngang hoặc dùng phím ← → khi chọn vùng công thức.

Tránh sai lầm

Không chấp nhận số dư âm hoặc số dư lớn hơn hay bằng số chia; không chia cho 0.

Kết nối tiếp theo

Khi dạy ở tiểu học, dùng số tự nhiên và thao tác lập nhóm; giải thích ý nghĩa phần dư trong câu hỏi thực tế.